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愛麗絲﹕地下邏輯與鏡像語言
作者﹕s. wong
1.1 論理型
八
在漢語﹐「如果 ... 那麼 ...」扮演聯結兩個句子的角色。翻譯到命題邏輯的語言﹐我們用「 」來表示﹐並將「」表達的關係稱為「關要如言」[註41]。大家要留意﹐「」這個符號叫做「鐵蹄」﹐「」這個符號表達的那個關係叫做「關要如言(關係)」﹐不要混淆。
日用語用「如果 ... 那麼 ...」來表示一個條件關係﹐命題邏輯用「」來表示一個關要如言關係。兩者用法不同﹐「」並不包含「如果 ... 那麼 ...」所有的用法或意義。換句話說﹐「」抽取了「如果 ... 那麼 ...」的一些基本要素﹐並且根據這些基本要素﹐規限了「」在命題語言中的用法。英語的「material conditional / implication」中的「material」作「essential」﹑「important」﹑「relevant」 解﹐即「基本的」﹑「必要的」﹑「重要的」﹑「相關的」等意義。讀者可參考法律用語中的「material」一詞的用法﹐譬如「material evidence」中的「material」。[註42]
「如果 ... 那麼 ...」在日用語言中有很多用法﹐因此有多個意義﹐但其中有幾個意義﹐不論在何用法﹐都必須遵守。邏輯學人將這幾個意義抽取出來﹐並作出規限﹐確立這幾個意義為「」的邏輯用法。並且稱「」表達了一個關要如言關係﹐而「pq」則稱為「關要如言」﹐以別於日用語言中的條件句用法。
「」是個邏輯運算符號。
問﹕它是用來運算什麼的﹖
答﹕它是用來運算真假值的。
命題邏輯有好幾個這樣的邏輯運算符號﹐叫做「語句聯結詞」[註43]﹐都是真值函應 [註44]﹐故又稱「真值函應聯結詞」[註45]。命題邏輯屬於布爾型邏輯 [註46]﹐即二值邏輯 [註47]。命題邏輯的真值函應聯結詞之所以是真值函應是因為一個由語句聯結詞構成的複合命題 [註48] 的真假值 [註49] 僅需由組元命題 [註50] 的真假值決定。基本概念來自數學的函數 [註51] 概念。數學上﹐函數的意思﹐用一句話解釋﹐就是一個量 (函數的論元 [註52]) 可以完全決定另一個而且是唯一的一個量 (函數的值 [註53])﹔用接近電腦科學的語言來說﹐輸入的量能夠完全決定輸出的量。在數學﹐量的單位主要是數﹐在命題邏輯﹐量的單位是真假值﹕真 / 假。
用否定句式做例子﹐「 p」中的「」是一個語句聯結詞﹐它聯結一個句子「p」﹐「p」是「p」唯一的組元命題。「p」有兩個真假值﹕要麼是真﹐要麼是假。[註54] 如果「p」為真﹐「p」便為假﹔如果「p」為假﹐「p」便為真。所以﹐「」是個真值涵應聯結詞﹐只要輸入「p」的真值﹐便能立刻得出「p」的真值。
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[註41] 「Material conditional」﹐又稱為「material implication」﹐中譯為「關要蘊涵」。
[註42] 今日的漢語邏輯學界將「material conditional/implication」中的「material」通譯為「實質」﹐我認為是錯譯。香港中文大學哲學系編譯的〈中譯邏輯學詞彙〉將「material implication」譯做「實質涵蘊」﹐本來已經是錯譯﹐還提出「質料涵蘊」作為一項選譯 (alternative translation)﹐實在是錯上加錯﹔這是望文生義的一大惡例﹐對述語的基本不了解﹐竟出現在香港的哲學學府之內﹐令人心痛﹗(香港中文大學哲學系編譯﹕〈中譯邏輯學詞彙〉﹐中文大學出版社﹐1982﹐頁33。)
[註43] Sentence connectives。
[註44] Truth-functional。
[註45] Truth-functional conncetives。
[註46] Boolean logic。
[註47] Two-valued logic。
[註48] Compound proposition。
[註49] Truth-value。
[註50] Consitituent proposition(s)。
[註51] Function。
[註52] Argument(s) of the function。有漢語邏輯課本將「argument」譯做「自變元」 (independent variable)﹐這個譯法在二十世紀初之前還可以﹐之後卻有問題。自從語法形式化 (formalization of syntax) 分別在邏輯和語言學兩門學科 (尤其在後者) 中興起之後﹐作為「argument」的漢譯﹐「自變元」 便出現誤導的成份﹕independent variable 必然是函數的組件﹐但 argument 則不然﹔在很多形式語法 (formal grammars) 之中﹐argument 與函子 (functor) 用在一起的情況越來越多﹐但函子不一定是個函數。所以我根隨某一部份學界的意見﹐將「argument」譯做「論元」。據說﹐首先賦予「argument」本文意義下的數學用法的是法國數學學人奧古斯丁路易．柯西 (Augustin Louis Cauchy﹔1789-1857)。我做了一點考古的工作﹐能找到的﹐在本文意義下與函數相關的用法最早出現在以人口統計成名的英國數學學人本傑明．高伯茲 (Benjamin Gompertz) 刊登於 Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1825) 上的一篇關於人口死亡率的研究文章﹕《On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies》。文中有這樣的一個句子﹕「These tables represent the logarithm of the present values of annuities for every value of a certain argument」。最早給予「argument」本文意義下的數學用法的人是否奧古斯丁路易．柯西﹐我不能確定﹐有考古闢的讀者可以在圖書館裡花一點時間查察一下﹐有結果的話歡迎來個電郵告之本人。
[註53] Value of the function。比較準確的說法應該如下﹕如果 f(x) 是個函數﹐x 便是該函數的論元﹔如 y 是該函數的值﹐即 f(x) = y﹐那麼﹐我們說﹕ 「y 是 f(x) 的值﹐就論元 x 而言」 (y is the value of the function f(x) for the argument x)。
[註54] 一個命題僅有兩個值﹐非真即假﹑非假即真﹐不容許非真非假﹑亦真亦假的可能性。這是經典邏輯最大最重要的一個假設。
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