愛麗絲的世界

愛麗絲﹕地下邏輯與鏡像語言

作者﹕s. wong

1.1 論理型

回到愛麗絲。雖然愛麗絲並不懂得太多的邏輯﹐但在查看瓶子有否貼上「毒藥」標記的時候﹐她無疑是做推理﹐盡管推理出錯了﹕

… 如果喝了過多標著“毒藥”的瓶子里的水，遲早會有害健康的。

然而，瓶子上沒標有「毒藥」字樣，所以愛麗絲冒險地嘗了一口，發現它還挺好喝（事實上，那是一種混合著櫻桃餡餅、蛋奶糊、菠蘿、烤火雞、牛奶糖、熱奶油麵包的味道）。愛麗絲一口氣就把一瓶喝光了。

我們整理一下愛麗絲的思維﹐將她的論理譯寫 ^[註31] 如下﹕

毒藥論﹕

我們稱這個論理為「毒藥論」。以常識來說﹐我們可以想出各種各樣的情況致使瓶子沒有標著「毒藥」也不宜飲用。譬如瓶子內的確是毒藥﹐只是沒有人在瓶子上貼上警告句語﹐又或者瓶內裝的是瀉劑﹐不是毒藥﹐因此不能貼上「毒藥」標記。但愛麗絲的推論不是因為以上的原因而錯。更準確一點﹐愛麗絲的推論不是因為以上的那類原因而錯。毫無疑問﹐前面提及的可能性都可以成為反例﹐用來指出這一類的論理有問題。但它們不是愛麗絲的推論錯或無效的邏輯原因。細心的讀者可能已經留意到﹐在粗略分析條件句的時候﹐我們說﹐如果前件為真﹐那麼﹐我們也必須接受後件為真﹔我們沒有說﹐如果前件為假﹐後件亦必然為假。事實上﹐愛麗絲犯的毛病有個花哨的名稱﹐叫「否定 (條件句) 前件的謬誤」 ^[註32]。我們將在下面將條件句式的正確推論和錯誤推論形式化地表示出來。

我們採用這樣的一個記法 ^[註33] ﹕「pq」^[註34] 代表「如果 p 那麼 q」。此後﹐我們不再寫「如果 p 那麼 q」﹐凡條件句式﹐都記為「pq」。

以下的論理是個正確的推論。

論理型 (1) (有效)﹕

pq

p

q

這個推論應用了一個推論規則 ^[註35]﹐稱為「如言消去」^[註36]。傳統上﹐使用如言消去規則的論理型稱為「肯定模式」^[註37]。「肯定模式」說﹕如果有 pq﹐並且有 p﹐我們可以論斷 ^[註38] q。

下一個論理看來「合理」﹐甚至看來有點像「肯定模式」﹐但實在無效 ^[註39]。

論理型 (2) (無效)﹕

pq

p

q

「p」^[註40] 念做「非 p」﹐是 p 的否定﹐即 p 為假﹔同理﹐「q」是 q 的否定﹐即 q 為假。這就是愛麗絲的論理﹐邏輯學者稱它為「否定 (如言) 前件的謬誤」。

為什麼否定前件的論理型是個謬誤﹖

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[註31] Paraphrase。

[註32] The fallacy of denying the antecedent (of the conditional)。

[註33] Notation。

[註34] 這個符號稱為「鐵蹄」。另一個通行的記法是「→」﹐稱為「箭號」。我個人習慣用比較傳統的「」 來寫經典邏輯﹐用「→」來寫矢列演算 (sequent calculus)﹑子結構邏輯 (substructural logic) 等﹐ 基本上﹐非經典邏輯 (nonclassical logic) 都會用箭號。最早使用「」的是法國數學學者佐瑟夫戴亞斯．舍恭 (Joseph-Diez Gergonne)﹐時為西元1816年。

[註35] 「Rule of inference」。

[註36] 「Conditional elimination」﹔當我們使用「pq」這種邏輯記法﹐我們將以「如言」稱之﹐以別日用語言中的條件句式。

[註37] 「Modus ponendo ponens」 (拉丁語)﹐通常簡寫為「modus ponens」。始於英國邏輯學者威廉．舍伍德 (William of Shyreswood﹕1190-1247)﹐「modus」一詞在拉丁經院邏輯 (Latin scholastic logic) 中有很多專門意義。「modus」乃「標準」﹑「權衡」的意思﹐語根來自印歐語系的 「med」﹐「採取適當措施」之意。「ponendo」是「ponere」的動名詞﹐「ponens」是「ponere」的現在分詞﹔有「放下」﹑「肯定」﹑「斷定」﹑「建立」等意思。在本書脈絡之中﹐「modus」指「mode of argument」(論理的模式)。因此﹐「modus ponendo ponens」是「隨肯定而來的肯定模式」的意思﹐而「modus ponens」可以譯做「肯定模式」。對考古有興趣的讀者可參考﹕

1. Józef Maria Bocheński: A History of Formal Logic, English translation by Ivo Thomas, University of Notre Dame Press, Indiana, 1961;
2. William of Sherwood: Treatise on Syncategorematic Words, English translation by Norman Kretzmann, University of Minnesota Press, Minneapolis, 1968。

[註38] Conclude。

[註39] Invalid。

[註40] 「」的英語是 tilde﹐漢語叫「波浪符」。

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